Domaines de définition

Cours

Les domaines de définition, appelés également des ensembles de définition, permettent de définir à type de nombre nous avons affaire.

On les regroupe sous des catégories, très souvent résumés par une lettre majuscule avec une ou plusieurs barres doublées.

Il existe différents domaines de définition, certains sont appelés des entiers :

• $\mathbb{N}$ - entiers naturels
• $\mathbb{Z}$ - entiers relatifs

D'autres sont appelés des nombres :

• $\mathbb{C}$ - nombres complexes
• $\mathbb{D}$ - nombres décimaux
• $\mathbb{MC}$ - nombres multicomplexes
• $\mathbb{Q}$ - nombres rationnels
• $\mathbb{R}$ - nombres réels

Et enfin certains ont des noms particuliers, tels que :

• $\mathbb{H}$ - quaternions
• $\mathbb{O}$ - octonions
• $\mathbb{S}$ - sédénions

Bien qu'il en existe encore d'autres, ils n'ont pas de lettres spéciales pour les nommer.

Exemple

Les entiers naturels : $\mathbb{N}$

L'ensemble $\mathbb{N}$ représente l'ensemble des entiers naturels.

Comme son nom l'indique, il s'agit des éléments que l'on peut dénombrer dans la nature.

Par exemple, dans un jardin on peut dénombrer combien d'arbres il y a.

Ou combien de voitures sont garées sur un parking.

Ces entiers sont donc comptabilisés par unité et ne peuvent être comptés avec un nombre à virgule, tel que 1,5.

Ces entiers ne peuvent pas non plus être inférieurs à 0.

En effet, on ne peut pas dire, il y a 1,5 arbres dans le jardin ou -4,2 voitures sur le parking.

On utilise alors l'ensemble $\mathbb{N}$ pour spécifier que les nombres intervenant dans un exercice de mathématiques seront tous des entiers naturesls, à savoir compris entre 0 et l'infini, sachant que chaque nombre sera un entier.

Par exemple les nombres suivants sont des entiers naturels :

• 0
• 1
• 24
• 390
• 4894
• 7892373893

On peut donc dire que : $$\mathbb{N} \in [0;+\infty[$$

Les entiers relatifs : $\mathbb{Z}$

Voyons maintenant l'ensemble $\mathbb{Z}$.

Il s'agit tout simplement du même ensemble que $\mathbb{N}$ mais sur lequel on va ajouter les entiers négatifs.

Par exemple les nombres suivants sont des entiers relatifs :

• -3327892373898
• -332324894
• -72390
• -24
• -1
• 0
• 1
• 24
• 390
• 4894
• 7892373893

On peut donc dire que : $$\mathbb{Z} \in ]-\infty;+\infty[$$

Les nombres réels : $\mathbb{R}$

Le plus utilisé est sans doute l'ensemble $\mathbb{R}$.

En effet, les nombres réels constituent tout simplement tous les nombres imaginables. Qu'ils aient des virgules ou pas, qu'ils soient négatifs ou positifs, qu'ils soient mis sous forme de fraction ou même représentés par des lettres (grecques notamment).

Par exemple les nombres suivants sont des nombres réels :

• -3327892373898
• -33232,4894
• -72,390
• -2,4
• -1
• 0
• 1,7
• $\pi$
• 24,39003
• 390
• 4894
• 7892373893

On peut donc dire que : $$\mathbb{R} \in ]-\infty;+\infty[$$

Plus généralement, on doit spécifier si certains nombres seront exclus de cet ensemble de définition.

Par exemple, supposons que nous ayons une fonction $f(x) = \frac{3x}{(2x+5)(x-4)}$

On sait que pour une division, le numérateur peut être égal à 0. Donc le numérateur est défini sur $\mathbb{R}$, tous les nombres sans exceptions sont possibles.

Ce qui donne : $3x \in \mathbb{R}$.

Cependant, pour le dénominateur, il est mathématiquement impossible qu'il soit égal à 0.

Par conséquent, $(2x+5)(x-4) \ne 0$.

En réduisant ces deux équations, on a :

$(2x+5) = 0 \Leftrightarrow 2x = -5 \Leftrightarrow x = -\frac{5}{2}$

$(x-4) = 0 \Leftrightarrow x = 4$

On peut donc en déduire que la fonction $f(x)$ est ici défini sur l'ensemble des nombres réels, sauf $-\frac{5}{2}$ et $4$.

En effet si $x = -\frac{5}{2}$ ou/et si $x = 4$, alors le dénominateur sera égal à 0. Ce qui est impossible.

Ce que l'on peut écrire ainsi : $f(x) \in \mathbb{R}\backslash\{-\frac{5}{2};4\}$